数量关系解题：与众不同的容斥问题

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容斥问题在平时考试中算得上是一种比较简单的题型了，正因为如此也深受大家的喜爱。但是，考试如果一味的千篇一律，那也就失去了考试的意义，所以近年来出题人也在不断地寻求变化，而容斥问题其中的一个变化就是与其它题型相结合。这种变化是很高明，既保留了容斥这个知识点，又提升了题目的难度，把简单的一个容斥知识点变成了与其它考点相结合的综合性题目。
说了这么多，那么具体的考法会是怎么样的呢，大家来看几道例题：
例1.用1-7七个数字进行不能重复的排列，组成一个七位数，但是组合的过程中不能出现142、231 、314这三种连续的组合情况，例如：4567231不可以，则满足条件的七位数有多少个?
A.2379 B.3446 C.4728 D.5038
这道题是容斥问题、排列组合、整除相结合的新型题目，题目有相当的难度，要想答对十分不易：首先，利用排列组合原理，设A1为出现142的排列的全体情况，将142看成一个整体捆绑起来，情况总数=5!，同 理A2为出现231的排列的全体情况=5!，A3为出现314的排列的全体情况=5!，A4为出现3142的排列的全体情况=A1∩A3=4!，A5为出现2314的排列的全体情况=A2∩A3=4!。此时，根据容斥原理，我们用间接法：结果总数-不满足要求的结果数，剩下的就是符合要就的结果数，也就是答案了。最后的结果=7!-5!-5!-5!+4!+4!=4728。注意：此计算不可硬算，要运用整除法，计算结果能够被12整除，选项中只有C能被12整除，所以答案为C。
例2.在一次食品竞赛中，每个企业拿出10包零食进行参赛，其中13家企业获得味道好评、7家企业获得外观好评、8家企业获得价钱好评，至少获得两种好评的有6家企业，三种好评均获得的有2家企业，还有一家企业飒羽而归。如果一位小朋友任意在零食堆里拿零食，至少拿多少包才能保证一定有5包零食来自于同一商家?
A.80 B.85 C.90 D.95
本道题目是容斥问题与最不利原则相结合的题目，大家看出来了么?首先，利用容斥原理可得企业总数=13+7+8-4-2×2+1=21。接下来分析题目，题目想要拿的食品包数尽量少且保证满足条件，符合最不利原则体型，可以在每家企业拿4包产品，最后再加1。所以答案为21×4+1=85，选择B。
例3.“爱眼”国际机构要到小明所在的学校抽取一些同学进行视力检测，全校200名学生在操场集合报数(1-200)，首先报数为3的倍数的同学向后转，接下来报数5、7的倍数的同学依次向后转，此时所有处于向后转状态的同学返回教室，依然留在操场上的同学接受视力检测，则小明被留下做视力检测的概率为多少。
A.5/12 B.21/50 C.7/12 D.29/50
最后看第三题，本道题目是容斥问题、概率问题、最小公倍数相结合的综合性题目。解析：200以内，3的倍数有66人，5的倍数有40人，7的倍数有28人，既是3又是5的倍数有13人，既是7又是5的倍数有5人，既是3又是7的倍数有9人，同时是3、5、7倍数的有1人。根据容斥原理，转身三次的1人，最终是处于转身状态;转身两次的=13+5+9-3=24人，相当于没转身，转身一次的=66+40+28-24×2-1×3=83人。所以此时留在操场上等待检测的同学有200-83-1=116人。则小明被留下的概率为116/200=29/50。
经过几道题目的练习相信大家对于容斥问题的这种变化已经有了一定的了解了，怎么样少年，是不是觉得要学的东西还有很多，加油吧，你的路就在前方!
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