巧解数学运算：工程问题之增减交替合作求时间

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工程问题的主要题型包含简单工程问题、合作完工问题以及交替合作a问题，在我们学习工程问题的时候，会发现这样一类问题，就是增减交替合作求时间的问题，这类问题看似很难，但是其本质是青蛙跳井问题，只要能解决明白青蛙跳井问题就能够轻松解决此类工程问题。
所以我们先来了解一下青蛙跳井问题，青蛙跳井问题关键特征：周期性、周期内有正负。具体模型：有一口10米高的井，青蛙从井底每次向上跳5米，但滑3米，问这只青蛙几次能跳出此井?分析一下青蛙跳井问题，青蛙每次向上跳又下滑，实际上是在做周期性运动，向上跳一次向下滑一次可以看做是一个周期，经过一个周期实际上青蛙可以前进5-3=2米。我们在考虑一个问题，不管青蛙几次跳出去，有一点可以确定就是青蛙最终跳出井口的时候是在向上跳的过程中的，而不可能是在下滑的过程中的，在经过几个周期后只要青蛙距离井口小于5米就可以一次跳出井口了，此5米被称作预留量。
来解一下这道题，总高度为10，一个周期前进2米，需经过⌈(10-5)/2⌉=3(⌈ ⌉为向上取整符号)个周期实现距离井口5米高度，此时青蛙再跳一次可以跳出井口，因此青蛙需要3+1=4次跳出井口。
总结一下步骤：1、找到周期：周期值为向上跳一次向下滑一次可以看做是一个周期，每周期完成高度2米;周期峰值为高度最大值5米。2、计算周期数：周期数=⌈(总值-周期峰值)/周期值⌉。3、计算总次数：总次数=周期所用次数+周期峰值所用次数。
这道题就是青蛙跳井的经典题目，目前考试会有些题目讲青蛙跳井与工程问题结合，虽然看上去难度较大，但是只要掌握了青蛙跳井的解法了解此类题型的本质就可以轻松解答。接下来结合一道题目来了解。
例：一个水池有甲乙两个进水管，一个丙出水管，单开甲管6小时注满;单开乙管5小时注满;单开丙管3小时放完;水池原来是空的，如果按照甲乙丙循环轮流开放三个水管，每轮中各水管均开放一个小时，经过多少个小时后水池的水注满?
解析一下这道题目，观察一下这道题存在周期规律，并且周期内存在正负效率，因此可以结合青蛙跳井问题进行解答。设水池总量为30，则甲管的效率为5，乙管额效率为6，丙管的效率为-10。解题步骤：(1)找到周期：周期值：每三个小时为一个周期，每个周期的进水量为5+6-10=1，周期值为1;周期峰值为5+6=11。(2)计算周期数：周期数=⌈(总值-周期峰值)/周期值⌉=⌈(30-11)/1⌉=19。(3)计算总时间：经过19个周期后还差11就可注满水，此时甲乙分别再干一个小时，总时间=19×3+1+1=59小时。
这道题目就是一道比较经典的增减交替合作求时间的问题，只要大家能够结合青蛙跳井问题进行计算，基本上都可以解决类似的题目。
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