2018年国家电网考试备考计算机之数据结构与算法

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        从代码中可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n2 + e)，其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n2)的时间。
       

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        1.2 邻接表
        邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。
        邻接表的处理方法是这样的：
        (1)图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。
        (2)图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
        例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。
       

        对于邻接表结构，图的建立代码如下。
       

       

       

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        对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。
        本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。
        1.3 十字链表
        对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。
        重新定义顶点表结点结构，如下所示。
       

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        重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。
        十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。
        而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。
        这里就介绍以上三种存储结构，除了第三种存储结构外，其他的两种存储结构比较简单。
        二、图的遍历
        图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。
        对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。
        2.1 深度优先遍历
        深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。
        它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。
        我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。
       

       

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        如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。
       

        对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。
        2.2 广度优先遍历
        广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。
        邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。
       

        对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下。
       

        对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。
       

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        7.堆 (Heap)
        在计算机科学中，堆是一种特殊的树形数据结构，每个结点都有一个值。通常我们所说的堆的数据结构，是指二叉堆。堆的特点是根结点的值最小(或最大)，且根结点的两个子树也是一个堆。
        例程
        为将元素X插入堆中，找到空闲位置，建立一个空穴，若满足堆序性(英文：heap order)，则插入完成;否则将父节点元素装入空穴，删除该父节点元素，完成空穴上移。直至满足堆序性。这种策略叫做上滤(percolate up)。
        void Insert( ElementType X, PriorityQueue H ){ int i; if( IsFull(H) ) { printf( "Queue is full.\n" ); return; } for( i = ++H->Size; H->Element[i/2] > X; i /= 2 ) H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; H->Elements[i] = X;}
        以上是插入到一个二叉堆的过程。
        DeleteMin，删除最小元，即二叉树的根或父节点。删除该节点元素后，队列最后一个元素必须移动到堆得某个位置，使得堆仍然满足堆序性质。这种向下替换元素的过程叫作下滤。
        ElementType DeleteMin( PriorityQueue H ){ int i, Child; ElementType MinElement, LastElement; if( IsEmpty( H ) ) { printf( "Queue is empty.\n" ); return H->Elements[0]; } MinElement = H->Elements[1]; LastElement = H->Elements[H->Size--]; for( i = 1; i*2 Size; i = Child ) { /* Find smaller child. */ Child = i*2; if( Child != H->Size && H->Elements[Child+1] Elements[Child] ) Child++; /* Percolate one level. */ if( LastElement > H->Elements[Child] ) H->Elements[i] = H->Elements[Child]; else break; } H->Elements[i] = LastElement; return MinElement;}
        7.算法设计的分析技术
        算法是对问题求解过程的准确描述，由有限条指令组成，这些指令能在有限时间内执行完毕并产生确定性的输出。
        进行算法的时间复杂度分析，就是求其T(n)，并用O、Ω或是Θ以尽可能简单的形式进行表示。
        理想情况下，希望能够使用Θ表示算法的时间复杂性。退而求其次，可以使用O或是Ω。
        使用O时，希望估计的上界的阶越小越好。
        使用Ω时，希望估计的下界的阶越大越好。
        树的高度为ëlognû,所以将一个元素插入大小为n的堆所需要的时间是O(logn).
        delete(H,i) 所需要的时间是O(logn).
        make-heap(A): 从数组A创建堆
        方法1：从一个空堆开始，逐步插入A中的每个元素，直到A中所有元素都被转移到堆中。
        时间复杂度为O(nlogn).
        方法2：
        MAKEHEAP(创建堆)
        输入：数组A[1…n]
        输出：将A[1…n]转换成堆
        1. fori← ën/2û downto 1
        2. Sift-down(A,i){使以A[i]为根节点的子树调整成为堆，故调用down过程}
        3. endfor
        时间复杂度为O(n).