事业单位数量关系：排列组合问题之隔板模型

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【导读】
中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系解题技巧：排列组合问题之隔板模型。
排列组合的常考题型有很多，常见的解题方法包括我们熟悉的捆绑法、优限法、插空法、间接法等，都是我们解决排列组合题目的利器。今天中公教育专家将给大家介绍另一种常用的方法——隔板法，用于解决大家比较头疼的隔板模型问题。希望通过对本文的学习，能对大家解决此类问题有所帮助。
一、题型特征
把N个相同的元素分给m个不同的对象，每个对象至少分到1个元素，问共有多少种不同分法的问题。符合该特征的题目便可称为隔板模型问题。(本质上是同素分堆的问题)
【例1】某公司中秋节购买了8袋网红月饼，准备发给四个不同的部门，已知每个部门至少能发到1袋，请问一共有( )种发放方法。
A.30 B.35 C.40 D.45
【特征分析】题目中把8袋网红月饼(相同的)分发给4个不同的部门，并且每个部门至少能发到1袋，属于典型的同素分堆问题，符合隔板模型的特征，因此可采用隔板法来做。
【例2】有10个相同的篮球，分发给6个不同的班级，已知每班至少分到1个，请问有多少种不同的分配方案?
A.102 B.114 C.126 D.138
【特征分析】题目中把10个篮球(相同的)分发给6个不同的班级，并且每个班级至少能分到1个，属于典型的同素分堆问题，符合隔板模型的特征，因此可采用隔板法来做。
据例题特征可知，隔板模型的适用条件相当严格，需同时满足下列三个条件：
1.要分的元素必须完全相同;
2.要分的元素必须全部分完;
3.每个对象至少分到一个 。

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所以，例1的总方法数为
       

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=35种。
二公式总结
把n个元素分给m个不同的对象，每个对象至少分1个元素。其不同的方法共有
       

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种。
三、隔板模型变形
如果题目不满足隔板模型的第③个条件(即每个对象至少分到一个)，可通过转换为满足第③个条件来进行求解——
【例3】把20台相同的电脑分给8个部门，每个部门至少2台，问共有几种分法?
A.165 B.330 C.792 D.1485
【中公解析】B。属于同素分堆问题，满足特征①和②，但每个部门至少分两台，因此需要转换为至少分一台才可使用隔板法求解。为此，可每个部门先各分1台，则剩下12台相同的电脑分8个部门，每个部门至少分1台，此时可采用隔板法求解，为
       

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种方法，选择B项。
【例4】将7个相同的苹果，分给3个小朋友，任意分，分完即可。有多少种不同分法?
A.2187 B.343 C.72 D.36
【中公解析】D。属于同素分堆问题，满足特征①和②，但可以任意分，所以可能分到0台。因此需要转换为至少分一台才可使用隔板法求解。为此，可从每个部门先各借1台(这样分到1台的相当于分到0台)，则10个苹果分给3个小朋友，每人至少分1个，此时可采用隔板法求解，为
       

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种方法，选D项。
变形方法总结：
1.要求至少各分a个——先各分a-1个，之后采用隔板法公式求解;
2.要求可分0个(任意分)——先各借1个，之后采用隔板法公式求解。
四、真题再现
【真题1】 将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法?
A.14 B.18 C.20 D.22
【中公解析】C。根据题目特征，符合隔板模型的三个条件，可套用隔板法公式，共有
       

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种方法。C项正确。
【真题2】有10个相同的篮球，分给3个班，任意分，分完即可，有多少种分配方案?
A.36 B.66 C.84 D.210
【中公解析】B。根据题目特征，属于隔板模型的变型(可分0个)，因此需要转换，先从3个班各借1个，此时13个篮球分3个班，每班至少1个。可套用隔板法公式，共有
       

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种方案，B项正确。
【真题3】某部门购买了30本笔记本，发给了3组，每个组至少发9本。那么，一共( )种发放方法
A.10 B.17 C.14 D.15
【中公解析】A。根据题目特征，属于隔板模型的变型(至少9个)，因此需要转换，先给3个组各8个，此时为6本笔记本分3个组，每组至少1本。可套用隔板法公式求解，共有分配方法
       

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=10种，选择A项。